수학자도 난해함에 혀를 내두르는 확률의 난제 '몬티홀 문제'를 일러스트로 해설

by palbo

몬티홀 문제는 저명한 수학자도 틀릴 정도로 '직관적으로 옳다고 생각하는 해답과 논리적으로 정답이 다른 문제'로 유명한 확률 이론의 난제입니다. 그런 몬티홀 문제에 대해 일러스트를 이용해 시각적으로 사고방식을 이해할 수 있는 해설이 공개되어 있습니다.

Making the Monty Hall problem weirder but obvious - DYNO MIGHT
https://dyno-might.github.io/2020/09/17/making-the-monty-hall-problem-weirder-but-obvious/

Making the Monty Hall problem weirder but obvious

몬티홀 문제는 다음과 같은 문제입니다.

'플레이어의 앞에 닫힌 3개의 문이 있고, 1개의 문 뒤에는 경품인 신차가, 두 개의 문 뒤에는 탈락을 의미하는 염소가 있습니다. 플레이어는 신차의 문을 맞추면 신차를 받을 수 있습니다. 플레이어가 하나의 문을 선택한 후, 사회자인 몬티가 나머지 문 중 염소가 있는 문을 열어 염소를 보여줍니다. 여기서 플레이어에게 처음 선택한 문을 남아있는 열리지 않은 문으로 변경해도 좋다고 제안합니다. 여기에서 플레이어는 문을 변경해야 할 것인가?'

몬티홀 문제는 사회자인 몬티가 문을 열어 염소를 보여준 단계에서 남겨진 문이 2개이므로, '두 개의 남겨진 문 중 각각의 문에 신차가 들어있는 확률은 2분의 1이므로 어느 쪽의 문을 선택하여도 확률이 변하지 않으니까 문을 변경하지 않아도 상황은 마찬가지다'라고 직관적으로 생각해버리는 경향이 있습니다. 그러나 실제로는 문을 변경하면 신차를 얻을 수 있는 확률은 3분의 2로, 변경하지 않으면 3분의 1이 되어 '문을 변경해야 한다'는 답변이 정답입니다.

이 문제가 미국의 뉴스 잡지 'Parade'에 답변과 함께 게재된 결과, 미국 전역에서 '잘못되었다'는 지적이 1만 건 이상 쇄도. 일련의 논의에 수학자가 참여하고 뉴욕타임즈 등의 대형 언론사까지 논의를 게재하는 사태로 발전했습니다.

과학적 문제를 논의한 블로그 'DYNO MIGHT'에 게재된 몬티홀 문제의 해설은 '문을 10개로 생각해 본다'라는 것.

플레이어는 10개의 문 중에서 하나를 선택합니다.

이번에는 몬티가 문을 여는 대신 '처음 선택한 문 이외의 내용물을 모두 획득할 수 있다'고 변경합니다. 이 경우 '처음 선택한 문의 내용물을 획득한다'는 선택에서는 신차를 얻을 수 있는 확률은 10%. '처음 선택한 문 이외의 내용을 모두 획득할 수 있다'라는 선택에서 신차를 얻을 수 있는 확률은 90%라고 직관적으로 이해할 수 있습니다.

계속해서, 몬티가 꽝인 문을 열고 '처음 선택한 문 이외의 내용을 모두 획득할 수 있다'라는 대안을 제시하는 예를 살펴보겠습니다. 우선 플레이어에게 10개의 문이 제시되고 ......

그중에서 1장을 선택하는 것까지는 동일합니다.

여기서 몬티가 남아있는 9개의 문 중 꽝인 8개의 문을 연다는 점이 차이점.

꽝인 8개의 문을 열었다 해도 '처음 선택한 문 이외의 내용물을 모두 획득할 수 있다'라면 90%의 확률로 신차를 맞출 수 있다는 것을 시각적으로 이해할 수 있습니다.

마지막으로, '처음 선택한 문 이외의 내용믈을 모두 획득할 수 있다'는 선택이 아닌 '먼저 선택한 것과 다른 닫힌 문의 내용물을 획득할 수 있다'라는 대안이 제시되는 예를 생각해 봅시다. 우선 플레이어에게 10개의 문이 제시됩니다.

그중에서 1개를 선택.

몬티가 남은 9개의 문 중 꽝인 8개의 문을 엽니다.

지금까지의 예에서는 '처음 선택한 문 이외의 내용물을 모두 획득할 수 있다'라는 선택에 대해 생각해 왔지만 이번에 제안된 것은 '처음에 선택한 것과 다른 닫힌 문의 내용물을 획득할 수 있다'라는 선택입니다.

그러나 이 두 가지 선택의 차이에 대해 주목하면, 이 2개의 선택권은 '꽝인 문의 내용물을 획득할 수 있는지 여부'만 다르고 '신차를 획득할 수 있다'에 대해서는 차이는 일절없고, '신차를 획득할 수 있는 확률'에도 변화가 없습니다. 그래서 '처음에 선택한 것과 다른 닫힌 문의 내용물을 획득할 수 있다'라는 옵션을 선택하더라도 신차를 획득할 수 있는 확률은 90%로 유지되는 것입니다.

몬티홀 문제는 문을 3개로 했을 뿐 원리는 공통이므로 '문을 변경한다'는 선택이 왜 올바른지를 확인할 수 있습니다.