역제곱법칙의 신비로움

by Borb / https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Inverse_square_law.svg#mw-jump-to-license

빛이나 소리가 그 광원이나 음원으로부터 멀어짐에 따라 약해져 가는 것은 경험에 의해서도 잘 알려진 것이다. 그 약화는 거리의 제곱에 반비례하고 있다. 즉 거리가 2배가 되면 강도는 4분의 1로, 거리가 3배가 되면 강도는 9분의 1이 된다.

빛이나 소리의 에너지가 공간의 모든 방향으로 방사되기 때문에, 중심으로부터의 거리 r을 반경으로 하는 구면을 생각하면, 구면의 면적은 r의 제곱에 비례하기 때문이다. 구면 전체는 중심으로부터 방사된 에너지가 모두 받기 때문에, 같은 면적에 받는 에너지는 거리 r의 제곱에 반비례한다. 이것을 역제곱의 법칙이라고 부른다.

고등학교 물리학에서 뉴턴의 만유인력(중력)과 정전기력(쿨롱력)을 배울 때 이러한 힘도 역제곱의 법칙을 따르는 것을 배운다. 식으로 나타내면 다음과 같다. 빛이나 소리의 감쇠와 같은 형태의 식이 된다.

만유 인력(중력)

정전기력(쿨롱력)

두 힘이 똑같은 형태를 하고 있는 것에 나는 고등학생 때 신기하다고 생각했다. 만유인력이나 정전기력이 전해지는 구조는 빛이나 소리가 전해지는 구조와 전혀 관계가 없는데 비슷한 줄어드는 방법을 하는 것이다. 힘은 에너지가 아니기 때문에 빛이나 소리와 같이 줄어들 필연성은 없다. 에너지는 방사됨으로써 그 방사원은 상실하지만, 만유인력(중력)이나 정전기력은 주위에 힘을 가해도 그 발생원으로부터 상실되는 것은 아니다.

또한 거리가 멀어짐에 따라 힘의 영향이 줄어든다는 것은 납득이 가지만, 줄이는 방법에도 여러 가지 있다. 그런데 왜 딱 역제곱일까?

실은 역제곱의 법칙이 성립되어 있는 것은 우리가 사는 공간이 3차원으로 그리고 모든 방향에 같은 퍼짐을 가지고 있다는 것에 깊이 연결되어 있다. 이것을 공간의 등방성이라고 한다. 공간이 3차원이기 때문에 한 점에서 같은 거리에 있는 면적이 거리의 제곱이 되기 때문이다.

자석의 인력이나 척력도 거리가 떨어짐에 따라 줄어드는 것은 경험적으로 기억하고 있다. 실은 이 자력도 역제곱의 법칙에 따르는 것이다. 학교에서는 배우지 않겠지만 식으로 나타내면 다음과 같이 만유인력이나 정전기력과 같은 형태의 식이 된다.

자력

왜 이 사실을 적극적으로 학교에서 가르치지 않는 이유가 있다. 자력의 경우 역제곱의 법칙이 성립하기 위해서는 단독 자하(모노폴)의 존재를 가정해야 하기 때문이다. 자하는 N극이나 S극만 단독으로 존재할 수 없고, 반드시 N극과 S극의 쌍으로서 존재한다. 전하에 해당하는 단일 자하는 Dirac에 의해 예언되었지만 아직 실험에서 존재를 확인할 수 없다.

그런데 만유인력(중력)이 역제곱의 법칙에 따르고 있다고 말했지만 아직 검증되지 않은 것도 몇 가지 남아 있다.

하나는 0.1밀리미터 이하의 짧은 거리에 대해서도 역제곱법칙이 성립되어 있는 것이 확인되지 않은 것이다.

또한 최근 가설로서 클로즈업되고 있는 잉여차원이나 초끈이론 등 공간이 5차원 이상의 잉여차원을 갖고, 그것들이 미소공간에 접혀 있는 경우는 공간이 3차원이라고 하는 가정이 잘못된 것이 되어 중력의 역제곱법칙도 수정을 강요당할 가능성이 있다.

어쨌든 기원이 다른 각각의 힘에 같은 법칙이 성립되어 있는 것은 당연한 것 같고 신기한 일이다.

출처 참조 번역
- Wikipedia
- 逆２乗の法則の不思議
https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/093969d0415d58ec514ada4fcfbb0b0c