우주의 형태(shape of Universe)

우주의 형태(shape of Universe)는 우주의 기하학을 기술하는 우주물리학의 주제 중 하나로, 우주의 기하학은 국소기하학과 전역기하학 등으로 구성됩니다. 우주의 형태는 대개 곡률과 위상기하학으로 나뉘어져 있으며, 엄밀하게는 그 범주를 넘는다. 보다 형식적으로는 어느 3-다양체가 4차원 시공의 공동좌표의 공간구분에 대응하는지를 조사하는 것에 있다.

우주의 형태의 생각은 두 가지로 나뉜다. 하나는 우주의 어느 곳에서나 관측 가능한 우주의 곡률과 관련된 국소기하학이며 다른 하나는 관측 가능하다고 단정짓지 못하는 우주 전체의 위상기하학과 관련이 있는 전역기하(global geometry)이다.

우주연구자들은 보통 공동좌표계라는 시공간 슬라이스를 다룬다. 관측의 관점에서 관측 가능한 시공간의 구분은 후방의 광원뿔(임의의 관측자에게 도착하는 시공을 나타내는 우주광 지평면의 내측)이다. 관련 용어인 허블 부피는 과거의 광원뿔 또는 마지막으로 산란된 표면과 일치하는 공동공간을 나타내기 위해 사용된다. 특수상대성이론의 관점에서는 동시성의 과제 때문에 '(어느 시점의) 우주의 형태'라는 생각은 허술하다. 동시성의 과제로부터는 '다른 장소에서, 동시에'라는 표현은 허용되지 않기 때문에 '다양한 장소의, 어느 시점에 있어서의' 우주의 형태라는 표현도 허용되지 않는다.

관측 가능한 우주가 전체 우주보다 작다면 관측자는 관측에 의해 우주 전체의 구조를 결정할 수 없다. 관측 가능한 우주는 작은 부분에 불과하다. 관측 가능한 우주가 전체 우주인 경우 관측자는 관측을 통해 우주 전체의 구조를 결정할 수 있다. 게다가 우주가 (실린더처럼) 어느 차원에서는 작고 어떤 차원에서는 그렇지 않은 즉, 작은 닫힌 루프라면 관측자는 우주에 다면적인 상을 볼 것이다.

공간의 곡률에 의존하는 국소기하학적 우주모델

국소기하학은 충분히 큰 척도인 관측 가능한 우주에서 임의의 점의 곡률이다. 초신성과 우주마이크로파배경복사와 같은 많은 천문학적 관측은 관측 가능한 우주가 거의 균일하고 등방성이며 가속팽창하고 있음을 보여준다.

▣ 우주의 FLRW 모델
일반상대성이론에서 국소기하학은 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric)으로 표현된다. 이 모델은 프리드만 방정식에 의해 표현되며 유체역학에 기초한(즉, 우주를 완전 유체 로 해석했다) 우주의 곡률을 탄생시켰다. 항성이나 질량의 구조, '거의 FLRW'인 모형이 이용되지만 관측 가능한 우주의 국소기하학적 추정에는 엄밀한 FLRW 모형이 이용된다.

즉, 모든 암흑에너지가 무시된다면 모든 물질은(은하와 같은 물질에 의해 왜곡되지 않고) 균일하게 분포되어 있다고 가정하면 우주의 곡률은 우주에 존재하는 물질의 평균밀도를 평가하여 결정된다.

이 가정은 다음과 같은 관측에 의해 뒷받침된다. 우주의 불균질성(이질성 모두)과 이방성은 약하고 대체로 균질적, 등방적이다.

균질·등방인 우주는 곡률정수가 있는 공간기하를 가능하게 한다. 일반상대성이론과 FLRW 모델은 국소기하학에서 밀도변수 오메가(Ω)가 공간의 곡률과 관련이 있음을 시사한다. 오메가는 우주를 임계 에너지밀도로 나눈 우주의 평균밀도이다. 즉 Ω이 1이면 우주는 평탄(곡률 0)하다.

공간의 곡률은 공간좌표에서 피타고라스의 정리가 유효한지 여부를 수학적으로 나타낸다. 아래의 예에서 국부적 길이의 연관성을 나타내기 위해 피타고라스의 정리를 대체하는 방정식이 필요하다.

• 곡률 0 (Ω = 1) 피타고라스의 정리는 유효
• Ω > 1 곡률은 양수
• Ω < 1 곡률은 음

Ω=1 이외의 경우 피타고라스의 정리는 유효하지 않다. 그러나 차이는 삼각형의 한 변의 길이가 10^26 정도일 경우에만 검출된다.

작은 원의 외주와 직경을 측정하고 원주를 직경으로 나눈다면 세 가지 기하학 모두 π를 얻는다. 그러나 직경이 커지면 Ω = 1 이외의 공간에서 이 몫은 π에서 벗어난다.

• Ω > 1 몫은 π보다 작다. 실제로 구체 위에서 얻은 가장 큰 원에서 원주는 직경의 두 배이다.
• Ω < 1 몫은 π보다 커진다.

초신성 사건을 이용한 우주와 시공의 물질-에너지 밀도의 천문학적 측정은 공간의 곡률이 0에 가까운 것을 시사하고 있다. 이는 시공간의 국소기하학은 시공간의 간격에 기초한 상대성원리에 의해 유도되지만 근사적으로 유명한 유클리드 기하학에 의한 3공간으로부터 유도될 수도 있다는 것을 의미한다.

▣ 12면체 구조 모형
장피에르 루미네는 우주배경복사의 데이터로부터 구부러진 정오각형에 의한 12면체 구조를 하고 있다고 주장했다.

출처 참조 번역
- Wikipedia
- 宇宙の形
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E3%81%AE%E5%BD%A2