불가사의한 소수...'수의 원자'

소수라는 것은 매우 불가사의한 수이다. 이 정도까지 수학자들을 매료시키고 도전을 받아도 아직도 규명을 거부하고 있다. 실제로 소수에 관해서는 아직 해결되지 않은 문제도 많다.

2500년 전 피타고라스의 시대에서부터 자연수(1, 2, 3, 4 ...)를 모든 각도에서 고찰해 왔지만, 소수에 관한 이해는 이후 2000년 가까이 거의 발전하지 않았다.

특히 컴퓨터가 수학에서 강력한 무기가 된 현대라면 몰라도, 옛날에는 계산도 종이와 연필이 전부였다. 당연히 큰 소수를 찾아내는 것에도 한계가 있었다.

현재 발견된 최대의 소수는 아래와 같다.

십진법으로 표시하면 980만 8358자리가 될 것이다. 종이에 인쇄하면 1800장 분량이 된다.

참고로 아래 링크는 이 최대의 소수다.

'최대의 소수'
http://www.mersenneforum.org/txt/44.txt

txt 파일로 되어 있지만 10MB에 달하는 크기이다.

'소수'는 자연수나 정수의 곱에 대한 고찰 상 기본적인 구성요소이며, 정수론 등에 있어서 중요한 역할을 하고 있다.

그런 소수의 성질, 수학의 기본원리인 '소인수분해의 유일성'에 대해 증명하고 싶다.

즉, 어떤 숫자도 소수의 곱에 의해 표현할 수 있다.
(6 = 2 × 3, 16 = 2 × 2 × 2 × 2 등 ...)

이 '소인수분해의 유일성'을 보여주기 위해 두 가지 점에 대해 증명이 필요하다.

① 어떤 수라도 소수의 곱으로 나타낼 수 있다(소인수분해)
② 그 소인수분해의 결과는 한 가지뿐이다

①귀류법에 따른 증명

소수의 곱의 형태로 표현할 수 없는 2개 이상의 정수가 존재한다고 가정한다. 그런 정수 중 가장 작은 수 m에 주목해 보자.

m이 소수라면 증명할 필요는 없다.
m이 소수가 아니라면 m은 양의 약수 d를 가지게 된다.

m = d × e (1 <d <m 1 <e d, e는 정수)로 나타낼 수 있다.

조금 전 m은 '소수의 곱의 형태로 표현할 수 없는 정수 중 가장 작은 것'이라고 말했다.
라는 것은 d, e는 소수의 곱의 형태로 나타낼 수 있다.

따라서 m은 이렇게 나타낼 수 있다.

이것은 앞의 가정에 위배된다.

②정수 a가 두 가지 소수의 곱으로 나타낼 수 있다고 가정한다.

위처럼 나타낼 수 있다. (주어진 식은 p, r에 대해 대칭이므로 p <r로 한다)

t^1은 m의 약수이고 또한 소수이므로 t^1과 동일한 수가 s 속에 존재한다.
편의상, t^1 = s^1로 한다.

이것을 끝없이 계속하면 결국 이렇게 된다.

이것은 반드시 한 가지로 나타낼 수 있음을 의미하고 있다.

출처 참조 번역
· Wikipedia
- 数の原子
http://enjoymath.blog71.fc2.com/blog-entry-10.html