우주의 형태(곡률)

우리 우주의 시공간은 공간이 3차원이고 시간이 1차원이라고 생각된다. 그러나 설명의 편의상 시간은 생략하고 공간도 차원을 줄여 2차원으로 이야기를 한다.

학교에서 배우는 기하학은 '유클리드 기하학'을 기초로 하고 있다. 이것은 평평한 평면에 그려진 도형에 대한 기하학이다. 거기에서는 아래와 같은 성질이 있다.

・평행선은 결코 교차하지 않는다.
・삼각형의 내각의 합은 180도가 된다.

그러면 평평하지 않은 구부러진 평면을 생각해 보자.
우선은 양의 곡률을 가진 평면이다. 구의 표면과 같이 구부러진 평면으로 거기에서의 기하학은 '타원 기하학'이라고 불린다. 거기에서는 평행선이 교차하고 삼각형의 내각의 합은 180도보다 커진다.

다음은 음의 곡률을 가진 평면이다. 말의 안장과 같은 평면으로 거기에서의 기하학은 '쌍곡 기하학'이라고 불린다. 거기에서는 교차하지 않는 평행선이 복수 존재하고 삼각형의 내각의 합은 180도보다 작아진다.

2차원으로 생각해도 이미지가 좀처럼 떠오르지 않는데, 이것을 3차원으로 확장하는 것은 나에게는 매우 무리다.

▣ 천체에 의한 시공간의 왜곡
아인슈타인은 일반상대성이론으로 질량이 있는 물체의 주위의 시공은 구부러진다는 아이디어로 중력의 정체를 설명했다. 엄밀히 말하면 시공을 구부리는 요인은 질량과 에너지와 운동량이다.

이 시공간의 왜곡은 질량 등의 크기나 그 밀도에 의존한다. 따라서 천체 등의 존재에 따라 우주의 시공은 국소적으로 구부러져 있다.

▣ 지구상에서의 시공간의 구부림
지구상에서도 중력에 의해 시공간은 약간 왜곡되고 있다. 하지만 그 왜곡 상태는 단 10억 분의 1 정도다.
지구의 중력에 의해 구부러져 약간 음의 곡률을 가지고 있다. 예를 들어 세로로 1미터 떨어진 2개의 평행한 직선을 그려 1000킬로미터 정도 연장해 나가는 것을 생각하자. 그러면 어느 쪽 끝에서도 상하 방향으로 1밀리미터 정도 거리가 떨어진다고 한다. 그런 작은 어긋남이므로 우리가 우선 눈치채는 경우는 없다.

▣ 우주의 공간곡률
블랙홀처럼 시공간의 왜곡이 두드러지는 곳은 우주 전체에서 보면 한정된 장소뿐이다. 그렇다면 천체의 크기를 크게 넘는 척도로 평균해 보면 전체적인 시공간은 어떻게 되어 있는 것일까?

우주가 큰 범위에서 어떠한 시공간이 되고 있는지를 나타내는데 '공간곡률'이라는 양이 도움이 된다. 공간곡률이란 공간의 왜곡 상태를 나타내는 양이다.

공간곡률이 0일 때 그 공간에서는 유클리드 기하학이 성립한다. 즉 공간은 똑바르고 구부러지지 않았다는 것이다.

공간곡률이 0이 아니면 공간이 구부러진다. 그 값은 양수 또는 음수가 될 수 있으며 이때 유클리드 기하학은 성립하지 않는다. 공간곡률이 양수인 경우에는 타원 기하학이 성립하고 음의 경우는 쌍곡 기하학이 성립한다.

▣ 우리 우주의 공간곡률
우주의 곡률은 일반상대성이론에 의해 기술되며 우주의 총에너지 밀도와 관련이 있다. 물질의 질량은 에너지로 환산할 수 있다. 다만 우주는 팽창하고 있기 때문에 우주의 곡률은 팽창속도(허블상수)에도 관계하고 있다.

우주에 있는 에너지는 우주의 곡률을 양의 방향으로 크게 하려고 한다. 에너지 밀도가 충분히 크면 공간곡률이 양수가 된다. 반대로 에너지 밀도가 너무 적으면 공간곡률이 음수가 된다. 그리고 에너지의 밀도가 어느 특별한 값일 때 우주의 곡률이 0이 되어 평탄해진다. 이 특별한 밀도를 '우주의 임계밀도'라고 부른다.

프리드먼 방정식에 있어서 [(da/dt)/a]=H(허블 파라미터)로서 K=0이 되는 ρ(총 에너지 밀도)를 구하면 임계밀도로서 다음식이 얻어진다. 첨자로서 0이 부여되고 있는 것은 현재의 값인 것을 명시하기 위해서다.

수식을 변형하면 허블 파라미터를 포함하는 간단한 수식이 된다. 그러나 이 물리적 의미를 이해하지 못하고 있다.

어쨌든 허블 파라미터는 시간의 함수이므로 임계밀도도 시간의 함수가 된다. 값 자체는 상당히 작아서 현재 우주에서는 질량으로 환산하여 1입방센티미터당 10^-29그램 정도다. 지구 1개분 정도의 부피에 0.01밀리그램 정도가 된다.

다양한 관측으로부터 우주의 공간곡률은 거의 제로로 거의 평탄한 것 같다. 그 평탄도는 평행한 2개의 직선을 우주에 그릴 때 관측 가능한 우주의 반경 460억 광년 정도 진행되어도 그 평행선이 겨우 5%만 가까워지거나 멀어지는 정도의 왜곡보다 작은 것에 해당하는 것 같다.

그리고 총 에너지 밀도에 가장 기여하고 있는 것은 통상의 물질이 아니고 암흑물질도 아닌 암흑에너지다.
통상 물질의 질량을 우주 전체로 보면 얼마나 적은지를 재차 느끼게 된다.

▣ 밀도 파라미터
우주 안에 있는 에너지 밀도를 상기의 임계밀도로 나눈 것을 '밀도 파라미터'라고 부르며 그리스 문자의 Ω(오메가)로 나타낸다.

이 밀도 파라미터는 향후의 우주 팽창의 모습을 나타내고 있다고 한다.

Ω > 1인 경우 팽창은 곧 멈추고 수축으로 돌아서 붕괴된다.
Ω < 1인 경우 팽창은 가속된다.
Ω = 1인 경우에는 팽창속도는 점점 느려지지만 우주는 영원히 팽창을 계속한다.

현재의 우주는 암흑에너지에 지배되고 있으며 팽창은 가속되어 간다. 한편 현재의 밀도 파라미터 Ω은 거의 1이라고 한다. 그렇다면 양자의 말은 모순되지 않을까?

임계밀도는 허블 파라미터의 제곱에 비례한다.
그러므로 우주가 가속팽창하면 임계밀도는 증대한다.
한편 우주 안에 있는 에너지 밀도는 거의 일정하다.
이는 우주가 팽창해도 암흑에너지의 밀도가 변하지 않기 때문이다.

사실 암흑에너지는 에너지와 압력을 가지고 있다. 그 중 에너지에 관해서는 다른 물질과 마찬가지로 '만유인력'을 미친다. 그러나 압력이 음이므로 '척력'으로 작용한다. 그리고 상쇄한 결과 실효적인 '척력'으로 남는다고 한다.

출처 참조 번역
- Wikipedia
- 宇宙物理学 宇宙の形（曲率）
http://kai-kuu.jugem.jp/?eid=2526#gsc.tab=0