왜 소수는 나선을 그리는가

언뜻 보면 규칙성이 없는 것으로 생각되는 소수는 임의의 관점에서 결합하면 마치 나선을 그리는 것처럼 보일 수 있습니다. 수학자인 그랜트 샌더슨 씨가 이러한 성질과 수학의 매력을 연계해 설명했습니다.

3Blue1Brown - Why do prime numbers make these spirals?
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3Blue1Brown - Why do prime numbers make these spirals?

어느 2차원 평면에 점을 놓는 경우를 생각해 봅시다. 다음 이미지에서 점(1,1)은 원점에서 각도 1라디안, 거리 1 위치에 있습니다. 마찬가지로 (2,2)(3,3)(4,4)의 점도 둡니다.

이와 같이 점을 계속 늘리면 점차 나선형으로 펼쳐져 '아르키메데스의 나선'이라는 도형을 형성합니다.

이 도형에서 소수만을 뽑아 보면 이런 느낌. 구멍의 빈 부분이 소수인데 규칙적이라고는 생각되지 않습니다.

그러나 이것을 큰 스케일로 보면 다른 패턴이 보입니다. 구멍의 빈 부분은 여전하지만 빛의 줄기가 4개씩 나뉘어져 있는 것처럼 보입니다.

좀 더 세밀하게 보면 미세한 나선은 20개의 선으로 구성되며 더 큰 규모로 보면 총 280개의 선이 모여 있는 것처럼 보입니다.

다만 이러한 규칙성은 소수에 한한 이야기가 아니고, 정수에서도 같은 선이 나타납니다. 그러나 이러한 규칙성이 왜 생겨나는지는 수수께끼이며, 소수에 한해서 파고들면 소수의 분포에 관한 가장 중요한 정리의 하나인 '디리클레 정리'에 도달합니다.

나선을 더 깊게 살펴보면 규칙적인 숫자의 줄이 하나의 선을 구성하고 있음을 알 수 있습니다. 하나는 6의 배수(6k)이고 그 다음의 선은 6k+2, 그 다음은 6k+3 등으로 6이라는 숫자가 보입니다.

이것은 각도를 1라디안으로 한 사정상, 6라디안 회전하면 거의 1주가 되기 때문입니다. 6라디안은 360도에 미치지 않기 때문에(약 344도) 조금씩 점이 나선을 그리도록 배치되는 것입니다.

샌더슨 씨는 이런 식으로 수학의 재미에 접하는 의의에 대해 “중요한 사실을 보다 집중적으로 배울 수 있어 지루함이 훨씬 적어지는데 특히 이러한 주제를 스스로 재발견하는 경험이 특별한 의미가 있다"고 말했습니다.